根號2是不是無理數 根號2是無理數嗎
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根號2是無理數。證明根號2是無理數:如果√2是有理數,必有√2=p/q(p、q為互質的正整數),兩邊平方:2=p^/q^,p^=2q^。顯然p為偶數,設p=2k(k為正整數),有:4k^=2q^,q^=2k^;顯然q業為偶數,與p、q互質矛盾,所以假設不成立,√2是無理數。
什麼是無理數
無理數,也稱為無限不循環小數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e(其中後兩者均為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。
如何證明根號2是不是無理數
假設√2不是無理數,那它是有理數,
所以它可以表示成√2=p/q,其中p和q為互質的正整數,
所以2=p^2/q^2,所以p^2=2*q^2,
所以2能整除p^2,所以p^2是偶數,所以p是偶數,設p=2r,r是整數,
所以p^2=4*r^2=2*q^2,所以2*r^2=q^2,
所以2能整除q^2,所以q^2是偶數,所以q是偶數,
p、q都是偶數,與p和q互質矛盾,
所以假設錯誤,容所以√2是無理數。